Misalkan 2^x = 8 kita pasti akan langsung dapat mengetahui nilai x yang memenuhi yaitu 3. Akan tetapi, untuk menyatakan bentuk x, kita dapat menuliskan dalam bentuk logaritma yaitu x = ²log 8. Dengan menggunakan sifat dari logaritma, maka dapat diketahui nilai  x yang memenuhi adalah 3.

Dalam berbagai buku matematika pengantar sekolah pada jenjang SMA khususnya kelas XII. Definisi fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x → aˣ atau y = f(x) = aˣ

Sedangkan logaritma sendiri merupakan invers atau kebalikan dari eksponen. Sehingga dapat didefinisikan Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

y = f(x) =  ^alog x

1. Eksponen

a. Definisi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : f : x → a^x atau y = f(x) = a^x
Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

• f(x) = a^x disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen baku atau fungsi eksponen standar
• a disebut bilangan pokok atau basisbagi fungsi  f(x) =  a^x, dengan ketentuan: a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1)
• peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas (independent variabel) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis: D_f = { x I x Є R }
• peubah y dinamakan peubah bergantung atau variabel tak bebas (dependent variabel ) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis : Wf = { y I y > 0 dan y Є R }

b. Sifat-sifat Eksponen

Jika a dan b adalah bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan:

• a^x  x  a^y  = a^x+y
• a^x  :  a^y  =  a^x-y , a≠0
• (a : b)^x = a^x : b^x , b≠0
• (a^x)^y = a^{x .y}
• (a  x  b)^x  = a^x  x  b^x
• (a^m  x  bⁿ)^x  = a^mx  x  b^nx
• a^-x = 1/a^x
• a⁰ = 1 , a≠0

Catatan:

• a⁰ = 1 untuk setiap a Є R dan a≠ 0.
  0⁰ = tak-tentu
• 0^x = 0 untuk setiap x bilangan real positif.
• 0^x = tak-terdefinisi untuk setiap x bilangan real negatif.

c. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaiannya.

• Bentuk a^f(x)  = a^p
  Jika a^f(x) = a^p (a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = p

• Bentuk a^f(x) = 1
  Jika a^f(x) = 1(a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = 0

• Bentuk a^f(x)  = a^g(x)
  Jika a^f(x) = a^g(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).

• Bentuk a^f(x) = b^f(x)
  Jika a^f(x)=b^f(x) (a >0 dan a≠1, b > 0 dan b ≠  1, dan a ≠  b ), maka f(x)=0

• Bentuk {H(x)}^f(x) = {H(x)}^g(x)
  Jika {h(x)}^f(x) = {h(x)}^g(x), maka kemungkinannya adalah:
  » f(x) = g(x)
  » h(x) = 1
  » h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
  » h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau (x) dan g(x) keduanya genap.

• Bentuk A{a^f(x)}²  + B{a^f(x)} + C = 0
  Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a^f(x)}²  + B{a^f(x)} + C = 0 (a > 0 dan a ≠  1 ), A, B, dan C bilangan real dan A ≠ 0)dapat ditentukan dengan cara mengubah eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.

d. Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat fungsi monoton naik (a>0)
» Jika a^f(x) ≥ a^g(x), maka f(x) ≥ g(x)
» Jika a^f(x) ≤ a^g(x), maka f(x) ≤ g(x)

Sifat fungsi monoton turun (0<a <1)
» Jika a^f(x) ≥ a^g(x), maka f(x) ≤ g(x)
» Jika a^f(x) ≤ a^g(x), maka f(x) ≥ g(x)

e. Grafik Fungsi Eksponen

1) Basis a > 1 (monoton naik)

Sifat-sifat fungsi eksponen f : x → a^x dengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = a^x

Contoh :
Gambarlah grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2^x (x  R)

Penyelesaian :
Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

Maka akan dihasilkan grafik :

2). Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Contoh :
Gambarlah grafik y = f(x) = (½)^x (x є R)

Penyelesaian :
Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

Maka akan dihasilkan grafik :

f. Penerapan Fungsi Eksponen

Salah satu peran eksponen adalah tentang model penghitungan bunga majemuk dan pertumbuhan biologis, pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan perusahaan yang dimulai dari awal hingga batas waktu tertentu.

2. Logaritma

a.Definisi Fungsi Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : y = f(x) = ^alog x
Fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x merupakan fungsi invers dari fungsi komponen y = f(x) = a^x.

^glog a = x, jika dan hanya jika a = g^x

Hal yang perlu diperhatikan :

• f(x) = ^alog x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
• a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = ^alog x, dengan ketentuan a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
• Daerah asal (domain) fungsi f(x) = ^alog x adalah D_f  = {x | x > 0 dan xR}.
• Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = ^alog x adalah W_f  = {y | y  R}.

b. Sifat Logaritma

Sifat dasar logaritma : ^glog n = n, ^glog g = 1,  ^glog1 = 0
Sifat-sifat yang lain :
Jika g  > 0 dan g ≠ 1, p  > 0 dan p ≠ 1, a  > 0 , dan b  > 0, maka berlaku hubungan:

• ^glog(a x b) = ^glog a +  ^glog b
• ^glog(a/b) = ^glog a –  ^glog b
• ^glog aⁿ = n x ^glog a
• ^gnlog a^m = (n/m) ^glog a
• ^alog b . ^alog c = ^alog c
• ^glog a = 1/^alog g

c. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Macam-macam:

• Bentuk ^alog f(x) = ^alog p
  Jika ^alog f(x) = ^alog p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0

• Bentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)
  Jika ^alog f(x) = ^blog f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1

• Bentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)
  Jika ^alog f(x) = ^alog g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.

• Bentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)
  Jika ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.

• Bentuk A {^alog x}² + B {^alog x} + C = 0
  Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A {^alog x}² + B {^alog x} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C  bilangan real dan A ≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat. Jika diambil permisalan ^alog x = y maka persamaan logaritma tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan variable y sebagai Ay² +By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubtitusikan kembali pada permisalan, sehingga didapat persamaan logaritma ^alog x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan.

d. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar.

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
» Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
» Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0

e. Grafik Fungsi Logaritma

1) Basis a >1 (monoton naik)

Sifa-sifat fungsi eksponen f : x → ^alog xdengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = ^alog x

Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = ²log x (x >0 dan x є R)

Penyelesaian :
Buat tabel yang menunjukkan hubungan x dengan y

Maka akan dihasilkan grafik :

2) Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^1/2log x (x >0 dan x є R)

Penyelesaian :
Buat tabel yang menunjukkan hubungan x dengan y

Maka akan dihasilkan grafik :

f. Penerapan Logaritma

Dalam bidang kimia biasanya digunakan dalam penghitungan menetukan derajat kesamaan yang dinyatakan dalam symbol pH suatu senyawa kimia.

Nah itulah pembahasan mengenai eksponen dan logaritma. Yuk baca artikel matematika menarik lainnya di website kami.

Editor : -NR-

The post MENGENAL TENTANG EKSPONEN & LOGARITMA appeared first on KLC.

Yuk, untuk lebih lanjutnya jangan lupa dibaca artikel nya yaa!

Apa aja sih hal – hal yang akan kita rasakan setelah lulus SMA?

1. Bingung mau lanjut kemana

Kebanyakan dari anak SMA yang sudah lulus, bingung mau lanjut kemana karena pas waktu SMA nya kebanyakan mainnya. Menganggap bahwa masa muda masa – masa harus banyak bermainnya. Sampai melupakan masa depan yang harus diperjuangkan.

2. Jurusan apa yang harus dipilih

Selain bingung mau lanjut kemana, gak ada tujuan sama sekali. Ini nih salah satunya juga, jurusan apa yang diminati sama diri sendiri saja kadang tidak tau. Karena pas SMA, mapel tidak ada yang diminati. Sekalipun ada mapel yang kita minati. Tapi kenapa pas ulangan tetep juga remedial. Hehehehe.

3. Gak keterima di Universitas yang diinginkan

Nah ini juga biasa yang dialami sama anak SMA yang baru lulus, padahal Universitas dan jurusan yang diinginkan sudah ada. Tapi, gak keterima di Universitas yang diinginkan.

4. Ingin ganti jurusan

Banyak banget anak yang baru lulus SMA baru nyadar kalau salah jurusan. Yang dulunya anak IPA pas kuliahnya malah ngambil jurusan yang lebih berkaitan dengan IPS. Walaupun ini tergantung sama orang yang jalanin juga sih, kalau memang benar – benar minat dengan jurusan yang diinginkan pasti bisa kok.

5. Ternyata SMA dulu banyak mainnya

Nah, ada yang ngerasa gini gakk?? Baru sadar kenapa waktu SMA pas mapel malah main, sekarang mau daftar universitas harus ngulang lagi belajarnya. Tapi kalian harus tetap semangat ya, mulai lagi belajarnya!

Nah buat kalian semua yang baru lulus SMA, tetap semangat apapun yang terjadi dan tetap kejar mimpi kalian ya. Jangan lupa baca artikel kami lainnya di https://krishnalearningcenter.com/news/

Editor: ~ND~

The post Lulus SMA? Ini dia hal – hal yang akan kalian rasakan setelah lulus. appeared first on KLC.