MENGENAL TENTANG EKSPONEN & LOGARITMA

Telah dibaca 52 kali

Dalam kehidupan sehari-hari, secara tidak sadar banyak sekali kegiatan baik itu bisnis, pendidikan bahkan ketatanegaraan yang menggunakan konsep eksponen dan logaritma dalam mendeskripsikan dan menyelesaikan permasalahan di dunia ini, misalnya investasi uang, pertambahan penduduk, dan lain sebagainya. Secara umum eksponen dan logaritma sering digunakan untuk mendeskripsikan peristiwa pertumbuhan, hal ini dikarenakan logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk memecahkan masalah-masalah eksponen yang sulit untuk dicari penyelesaiannya.

Misalkan 2x = 8 kita pasti akan langsung dapat mengetahui nilai x yang memenuhi yaitu 3. Akan tetapi, untuk menyatakan bentuk x, kita dapat menuliskan dalam bentuk logaritma yaitu x = ²log 8. Dengan menggunakan sifat dari logaritma, maka dapat diketahui nilai  x yang memenuhi adalah 3.

Dalam berbagai buku matematika pengantar sekolah pada jenjang SMA khususnya kelas XII. Definisi fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x → aˣ atau y = f(x) = aˣ

Sedangkan logaritma sendiri merupakan invers atau kebalikan dari eksponen. Sehingga dapat didefinisikan Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

y = f(x) =  alog x

1. Eksponen

a. Definisi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : f : x → ax atau y = f(x) = ax
Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

  • f(x) = ax disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen baku atau fungsi eksponen standar
  • a disebut bilangan pokok atau basisbagi fungsi  f(x) =  ax, dengan ketentuan: a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1)
  • peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas (independent variabel) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis: Df = { x I x Є R }
  • peubah y dinamakan peubah bergantung atau variabel tak bebas (dependent variabel ) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis : Wf = { y I y > 0 dan y Є R }

b. Sifat-sifat Eksponen

Jika a dan b adalah bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan:

  • ax  x  ay  = ax+y
  • ax  :  a=  ax-y , a≠0
  • (a : b)x = ax : bx , b≠0
  • (ax)y = ax .y
  • (a  x  b)= ax  x  bx
  • (am  x  bn)= amx  x  bnx
  • a-x = 1/ax
  • a0 = 1 , a≠0

Catatan:

  • a0 = 1 untuk setiap a Є R dan a≠ 0.
    00 = tak-tentu
  • 0x = 0 untuk setiap x bilangan real positif.
  • 0x = tak-terdefinisi untuk setiap x bilangan real negatif.

c. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaiannya.

  • Bentuk af(x)  = ap
    Jika af(x) = ap (a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = p
  • Bentuk af(x) = 1
    Jika af(x) = 1(a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = 0
  • Bentuk af(x)  = ag(x)
    Jika af(x) = ag(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).
  • Bentuk af(x) = bf(x)
    Jika af(x)=bf(x) (a >0 dan a≠1, b > 0 dan b ≠  1, dan a ≠  b ), maka f(x)=0
  • Bentuk {H(x)}f(x) = {H(x)}g(x)
    Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya adalah:
    » f(x) = g(x)
    » h(x) = 1
    » h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
    » h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau (x) dan g(x) keduanya genap.
  • Bentuk A{af(x)}+ B{af(x)} + C = 0
    Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}+ B{af(x)} + C = 0 (a > 0 dan a ≠  1 ), A, B, dan C bilangan real dan A ≠ 0)dapat ditentukan dengan cara mengubah eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.

d. Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat fungsi monoton naik (a>0)
»
Jika af(x)  ag(x), maka f(x)  g(x)
» Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)

Sifat fungsi monoton turun (0<a <1)
» Jika af(x)  ag(x), maka f(x) g(x)
» Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) g(x)

e. Grafik Fungsi Eksponen

1) Basis a > 1 (monoton naik)

Sifat-sifat fungsi eksponen f : x → ax dengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax

Contoh :
Gambarlah grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2x (x  R)

Penyelesaian :
Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

eksponen

Maka akan dihasilkan grafik :

eksponen

2). Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Contoh :
Gambarlah grafik y = f(x) = (½)x (x є R)

Penyelesaian :
Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

eksponen

Maka akan dihasilkan grafik :

eksponen

f. Penerapan Fungsi Eksponen

Salah satu peran eksponen adalah tentang model penghitungan bunga majemuk dan pertumbuhan biologis, pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan perusahaan yang dimulai dari awal hingga batas waktu tertentu.

2. Logaritma

a.Definisi Fungsi Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : y = f(x) = alog x
Fungsi logaritma y = f(x) = alog x merupakan fungsi invers dari fungsi komponen y = f(x) = ax.

glog a = x, jika dan hanya jika a = gx

Hal yang perlu diperhatikan :

  • f(x) = alog x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
  • a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = alog x, dengan ketentuan a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
  • Daerah asal (domain) fungsi f(x) = alog x adalah Df  = {x | x > 0 dan xR}.
  • Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = alog x adalah Wf  = {y | y  R}.

b. Sifat Logaritma

Sifat dasar logaritma : glog n = n, glog g = 1,  glog1 = 0
Sifat-sifat yang lain :
Jika > 0 dan g ≠ 1, > 0 dan p ≠ 1, > 0 , dan > 0, maka berlaku hubungan:

  • glog(a x b) = glog a +  glog b
  • glog(a/b) = glog a –  glog b
  • glog an = n x glog a
  • gnlog am = (n/m) glog a
  • alog b . alog c = alog c
  • glog a = 1/alog g

c. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Macam-macam:

  • Bentuk alog f(x) = alog p
    Jika alog f(x) = alog p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
  • Bentuk alog f(x) = blog f(x)
    Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
  • Bentuk alog f(x) = alog g(x)
    Jika alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.
  • Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
    Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.
  • Bentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0
    Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C  bilangan real dan A ≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat. Jika diambil permisalan alog x = y maka persamaan logaritma tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan variable y sebagai Ay2 +By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubtitusikan kembali pada permisalan, sehingga didapat persamaan logaritma alog x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan.

d. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar.

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0

e. Grafik Fungsi Logaritma

1) Basis a >1 (monoton naik)

Sifa-sifat fungsi eksponen f : x → alog xdengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = alog x

Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = 2log x (x >0 dan x є R)

Penyelesaian :
Buat tabel yang menunjukkan hubungan x dengan y

eksponen

Maka akan dihasilkan grafik :

eksponen

2) Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Contoh :
Lukislah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x (x >0 dan x є R)

Penyelesaian :
Buat tabel yang menunjukkan hubungan x dengan y

eksponen

Maka akan dihasilkan grafik :

eksponen

f. Penerapan Logaritma

Dalam bidang kimia biasanya digunakan dalam penghitungan menetukan derajat kesamaan yang dinyatakan dalam symbol pH suatu senyawa kimia.

Nah itulah pembahasan mengenai eksponen dan logaritma. Yuk baca artikel matematika menarik lainnya di website kami.

Editor : -NR-

The following two tabs change content below.

Ms Erlita

Tentor Matematika KLC Klungkung

Latest posts by Ms Erlita (see all)

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.