SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL (SPLTV)

Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari sangat sering kita gunakan tanpa disadari. Sistem persamaan linier merupakan salah satu contoh penerapan matematika yang kita gunakan, misalnya saja dalam menentukan koordinat titik potong dalam membuat bangunan. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV).

PENGERTIAN

Sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) merupakan perluasan dari materi sebelumnya yaitu sistem persamaan linier dua variabel. Persamaan linier tiga variabel merupakan suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linier yang masing-masing persamaannya memuat tiga variabel.

BENTUK UMUM

Bentuk umum dari persamaan linier tiga variabel adalah sebagai berikut.

Dengan a₁ , a₂ , a₃ , b₁ , b₂ , b₃ , c₁ , c₂ ,   c₃ , d₁ , d₂ , d₃      adalah bilangan real.

Keterangan:
a₁ , a₂ , a₃ adalah koefisien
b₁ , b₂ , b₃ adalah koefisien
c₁ , c₂ ,   c₃ adalah koefisien
d₁ , d₂ , d₃ adalah konstanta
x , y , z adalah variabel

CIRI- CIRI

Sistem persamaan linier tiga varibel meliliki beberapa ciri-ciri, diantaranya sebagai berikut.

1. Memiliki tiga variabel.
2. Setiap variabelnya memiliki derajat/ pangkat satu.
3. Menggunakan relasi sama dengan (=)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL(SPLTV)

Terdapat beberapa metode dalam dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sebuah sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) , diantaranya:

Metode Eliminasi

Metode eliminasi merupakan metode sistem persamaan linier dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tersisa satu variabel saja.

Berikut merupakan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan metode eliminasi.

1. Amati ketiga persamaan pada SPLTV. Jika terdapat dua persamaan yang memliki nilai koefisien sama pada variabel yang sama, kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan tersebut agar koefisiennya 0.
2. Jika tidak terdapat variabel yang koefisiennya sama, kalikan kedua persamaan dengan bilangan yang membuat koefisien kedua persamaan tersebut menjadi sama. Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan tersebut koefisiennya 0.
3. Ulangi langkah 2 untuk pasangan persamaan lain. Variabel yang dihilangkan pada langkah ini harus sama dengan langkah 2.
4. Setelah diperoleh dua pasang persamaan baru pada langkah sebelumnya, tentuksn himpunan penyelesaian kedua persamaan menggunkan metode sitem persamaan linier dua variabel.
5. Substitusi nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah 4 pada salah satu persamaan SPLTV sehingga diperoleh nilai dari variabel ketiga.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier tiga variabel berikut menggunakan metode eliminasi.
x + 2y – z = -2
2x + y + 3z = 17
x – 2y + 3z = 18

Penyelesaian

Beri nama ketiga persamaan yang diketahui:
x + 2y – z = -2 … (1)
2x + y + 3z = 17 … (2)
x – 2y + 3z = 18 … (3)

Langkah 1: eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (3)

Langkah 2: eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (2)

Langkah 3: eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5)

Langkah 4: eliminasi variabel z pada persamaan (4) dan (5)

Langkah 5: Substitusi nilai y dan z ke persamaan (1)

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {5, -2, 3}

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan metode sistem persamaan linier dengan cara mensubstitusi atau mengganti salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain.

Berikut merupakan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan metode substitusi.

1. Tentukan persamaan yang memiliki persamaan sederhana (memiliki koefisien 1 atau 0).
2. Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk dua variabel yang lain.
3. Substitusi nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke persamaan lain pada sistem persamaan linier tiga variabel, sehingga diperoleh sistem persamaan linier dua variabel.
4. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel yang diperoleh pada langkah 3.
5. Tentukan nilai semua variabel yang belum diketahui.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier tiga variabel berikut menggunakan metode substitusi
x + 2y – z = -2
2x + y + 3z = 17
x – 2y + 3z = 18

Penyelesaian

Beri nama ketiga persamaan yang diketahui:
x + 2y – z = -2 … (1)
2x + y + 3z = 17 … (2)
x – 2y + 3z = 18 … (3)

Langkah 1: ubah persamaan (1), nyatakan x sebagai fungsi y dan fungsi z

Langkah 2: substitusi persamaan (4) ke persamaan (2)

Langkah 3: substitusi persamaan (4) ke persamaan (3)

Langkah 4: ubah persamaan (6), nyatakan y sebagai fungsi z

Langkah 5: substitusi persamaan (7) ke persamaan (5)

Langkah 6: substitusi nilai z ke persamaan (5)

Langkah 7: Substitusi nilai y dan nilai z ke persamaan (1)

Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah {5, -2, 3}

Metode Campuran

Metode campuran merupakan metode yang menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Metode ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi terlebih dahulu lalu menggunakan metode substitusi atau sebaliknya.

Contoh

 Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier tiga variabel berikut menggunakan metode campuran
x + 2y – z = -2
2x + y + 3z = 17
x – 2y + 3z = 18

Penyelesaian

Beri nama ketiga persamaan yang diketahui:
x + 2y – z = -2 … (1)
2x + y + 3z = 17 … (2)
x – 2y + 3z = 18 … (3)

Langkah 1: eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (3)

Langkah 2: eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (2)

Langkah 3: eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5)

Langkah 4: substitusi nilai z ke persamaan (4)

Langkah 5: substitusi nilai y dan nilai z ke persamaan (1)

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {5, -2, 3}

Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variabel berikut.
   x + 2y – z = -2
   2x + y + 3z = 17
   x – 2y + 3z = 18
2. Untuk suatu alasan, tiga pelajar, Adi, Budi, dan Candra mengukur berat badan secara berpasangan. Berat badan Adi dan Budi 226 kg, Budi dan Candra 210 kg, serta Adi dan Candra 200 kg. Hitunglah berat badan setiap pelajar tersebut.