Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Telah dibaca 18 kali

Misalkan diketahui fungsi aljabar y = f(x) = axn, maka turunan pertama dari fungsi f(x) terhadap x dilambangkan dengan f`(x) (dibaca ‘f aksen x’). Turunan pertama fungsi tersebut dinyatakan sebagai :

Atau secara sederhana, turunan pertama dari fungsi y = f(x) = axn dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.

Jika f`(x) diturunkan lagi terhadap x, maka akan didapat turunan kedua dari fungsi. Turunan kedua fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai:

Contoh Soal :

Diketahui fungsi f(x) = 4x5. Tentukan :

  1. Turunan pertama dan kedua dari fungsi terhadap x.
  2. Nilai f`(2).

Pembahasan :
Fungsi f(x) = 4x5

  1. Turunan pertama = f`(x) = 5.4x(5-1) = 20x4
    Kemudian, turunan kedua didapat dengan menurunkan kembali f`(x) seperti berikut.
    Turunan kedua = f”(x) = 4.20x(4-1) = 80x3
  2. Nilai dari f`(2) dihitung menggunakan rumus turunan pertama yang sudah didapat.
    f`(x) = 20x4
    f`(2) = 20 . (2)4 = 320

Sifat Turunan Fungsi

Misal, diketahui u dan v adalah fungsi-fungsi dalam variabel x maka diperoleh sifat-sifat turunan fungsi sebagai berikut.

  1. Jika f(x) = c, dengan c adalah suatu konstanta maka f'(x) = 0
    Contoh :
    f(x) = 4      →    f`(x) = 0
  2. Jika f(x) = k ∙ u, dengan k merupakan bilangan konstan maka f'(x) = k ∙ u
    Contoh :
    f(x) = 4x3   →    f`(x) = 4 ∙ 3 ∙ x3-1 = 12x2
  3. Jika f(x) = u ± v maka f`(x) = u`± v`
    f(x) = 3x5 + 2x2   →   f`(x) = (3 ∙ 5 ∙ x5-1) + (2 ∙ 2 ∙ x2-1) = 15x4 + 4x
    g(x) = 4x3 – 6x    →   g`(x) = (4 ∙ 3 ∙ x3-1) – (6 ∙ 1 ∙ x1-1) = 12x2 – 6
  4. Jika f(x) = u ∙ v maka f`(x) = u`v + uv`
    Contoh :
    f(x) = (x + 2)(6 – x2)     Misal :   u = x + 2    →    u` = 1
    v = 6 – x2   →   v` = –2x
    Maka f`(x) = u`v + uv`
                  = (1)(6 – x2) + (x + 2)(–2x)
                       = 6 – x2 – 2x2 – 4x
                      = –3x2 – 4x + 6

       Misal :   u = x3      →     u` = 3x2
                     v = x + 2   →      v` = 1

Aturan Rantai

Aturan rantai digunakan untuk menentukan turunan dari suati fungsi y = f(x) = un, dimana u adalah fungsi dengan variabel x. Adapun turunan f(x) = un menurut aturan rantai didefinisikan sebagai berikut.

Contoh Soal :

Diketahui fungsi f(x) = (4x2 – 3x)5. Tentukan turunan pertama dari fungsi tersebut!

Pembahasan :
f(x) = (4x2 – 3x)5              
Misal :   u = 4x2 – 3x    →    u` = 8x – 3
            n = 5

                   = (n ∙ un-1) ∙ u`
                  = 5 (4x2 – 3x)5-1  ∙ (8x – 3)
= (5)(8x – 3)(4x2 – 5)4
                 = (40x – 15)(4x2 – 5)4

Aplikasi Turunan Fungsi

Turunan pertama maupun kedua dapat digunakan dalam beberapa hal diantaranya : mencari persamaan garis singgung suatu kurva, menentukan titik stasioner fungsi, menentukan naik/turun fungsi, serta menentukan titik maksimum/minimum fungsi baik secara global maupun pada interval tertentu. Berikut penjelasan mengenai masing-masing aplikasi turunan tersebut.

a. Persamaan Garis Singgung Kurva

Garis singgung kurva merupakan garis yang memotong kurva tepat di satu titik. Untuk mencari garis singgung kurva y = f(x) yang melalui suatu titik (x1, y1), ada 2 langkah yang harus dilakukan sebagai berikut.

1) Cari gradien (m) garis singgung
Ingat, persamaan umum suatu garis adalah y = mx + c. Nilai m disebut dengan gradien dan nilai c adalah konstanta. Untuk mencari gradien garis singgung kurva y = f(x) yang melalui titik (x1, y1), turunkan fungsi f(x). Kemudian nilai m adalah hasil subtitusi nilai x1 pada turunan fungsi tersebut.

2) Hitung persamaan garis singgung
Setelah mendapat gradien, subtitusi nilai m dan (x1, y1) pada persamaan dibawah untuk mendapat persamaan garis singgung.

Sementara itu, dalam beberapa kondisi terkadang hanya diketahui bahwa garis singgung suatu kurva y = f(x) sejajar atau tegak lurus dengan garis lain (misal garis l). Maka untuk mencari garis singgung tersebut, langkah yang harus dilakukan sebagai berikut.

1) Cari gradien (m) garis singgung
Misal, gradien garis singgung disimbolkan dengan m1 dan gradien garis l yang tegak lurus atau sejajar dengan garis singgung disimbolkan dengan m2. Gradien garis singgung (m1) dapat ditentukan dengan sifat gradien sesuai kedudukan dua garis

2). Cari titik potong (x1, y1) antara garis singgung dan kurva
Jika sudah mendapat gradien m1, cari nilai x1 sehingga f(x1) = m1. Setelah itu, subtitusi nilai x1 tersebut ke persamaan f(x) sehingga didapat nilai f(x1) = y1.

3). Hitung persamaan garis singgung
Dari perhitungan sebelumnya, telah didapat nilai-nilai berikut :
m1       = gradien garis singgung
(x1,y1) = titik potong antara garis singgung dan kurva
Sama seperti sebelumnya, untuk menghitung persamaan garis singgung maka subtitusi nilai-nilai di atas ke persamaan dibawah ini.

b. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

turunan fungsi
  • Fungsi f(x) akan naik ketika f(x) > 0.
  • Fungsi f(x) menjadi fungsi turun ketika f(x) < 0.
  • Fungsi f(x) merupakan fungsi konstan jika f(x) = 0.

c. Titik Stasioner & Nilai Maksimum/Minimum Fungsi

Misal, diketahui fungsi y = f(x). Titik (x1, f(x1)) merupakan titik stasioner apabila f(x1) = 0.
Ada 2 jenis titik stasioner, yaitu titik maksimum dan minimum.

Untuk menentukan titik maksimum maupun minimum pada fungsi y = f(x), maka tentukan nilai turunan kedua dan tarik kesimpulan seperti berikut.

d. Nilai Maks/Min Fungsi pada Suatu Interval

Misal, akan dicari nilai maksimum dan minimum fungsi y = f(x) pada suatu interval [a,b]. Nilai maksimum atau minimum pada interval tersebut belum tentu sama dengan nilai pada fungsi secara keseluruhan. Oleh karena itu, untuk menyelesaikannya dapat dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1) Cari titik stasioner fungsi
Cari nilai x1 yang menyebabkan f(x1) = 0.
Tentukan apakah titik stasioner x1 berada pada interval [a,b] atau tidak.

2) Lakukan uji titik

Latihan Soal

1) Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!
a. f(x) = 2x3 + 3x2 – 4x – 10
b. f(x) = (5 – x2)(3x – 1)4

2) Diketahui f(x) = ⁴⁄₃ x3 + 9x2 – 11x + 2. Jika f`(p) = -1, maka nilai p yang memenuhi adalah . .

3) Selembar seng berbentuk persegi dengan ukuran sisi 3 meter akan dibentuk menjadi sebuah kotak tanpa tutup dengan menggunting persegi di keempat pojok seng, seperti pada gambar. Berapa volume kotak terbesar yang dapat dibuat?

Nah itu dia materi Turunan dan Aplikasinya, jangan lupa dikerjakan soalnya ya adik-adik agar kalian bisa mengukur kemampuan kalian!

Oh iya jangan lupa mengunjungi artikel matematika kami lainnya ya, banyak artikel menarik lainnya yang bisa menambah wawasan pengetahuan kalian loh!

Editor : -ND-

The following two tabs change content below.

Ms Bintang

Tentor Matematika

Latest posts by Ms Bintang (see all)

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.